五變二

題：一個由五個正方形組成的「十」字型圖形(如圖)，如果要把它分割成兩半，再把其中一份均分成兩個圖形，最後把這三部份拼成兩個並列正方形，這怎樣切割？

我們首先設定原正方形和新正方形的邊長。

1. 
   
   設小正方形(原本)的邊長是a，而大正方形(新)的邊長是x，亦因為五個正方形加起來的面積，和兩個正方形加起來的面積一樣，因此：
   
   
   

   2*(x^2) = 5*(a^2)
   

   
   

   x = [a(√10)]/2
   

   
   

   亦由於x = [a(√10)]/2，………………………………………
   

   
   

   
   

   
   

   自己想想吧！

天支地干

在中國古代的曆法中，天支地干合稱干支，其中天支有十個，分別是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；而地干則是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

* * * * * *

有時候，如果我們要知道這一年的天支地干，的確是有方法算出來的。不過，我們先要計算出天支地干的起始年。由於天干地支是六十年一次循環，因此起始年可以各有不同。

* * * * * *

我們可以把計算干支的方法寫成一條公式：{ n+60k+x = 年份 }。[*其中n是起始年，k是循環周期，而x就是天支地干(0≧x≧60)] 由於我們首先要求出x，例如，我們可以先用2008年來計算出起始年和干支的計算方法：

∵n+60k+x = 2008

∴我們要先找出k的最大值，經試驗後，發現k=[2008/60]=33，而由於2008年是戊子年，所以x應等於è戊是天支中的第5位，所以，x=10a+5.而子是地干中的第一位，s因此，可立等式12a+1=10a+5，解得a=2

∴x=25

∴n(起始年) = 3

* * * * * *

透過知道起始年，我們便可計算出干支(x)

(年份-3)/60è餘數 = x

而我們則可以憑着x來知道天干地支。

首先，由於天干是10年一次循環，所以x除以10的餘數，就是天干循環中的位數了。

另外，由於地支是12年一次循環，所以x除以12的餘數，就是地干循環中的位數了。

* * * * * *

例.1.

求出30年後，即2038年的天干地支。

解.1.

x = (2038-3) / 60è餘數è55

1. 55/10 è餘數è 5 è 戊

2. 55/12 è餘數è 7 è 午

∴2038年的天干地支是戊午

* * * * * *

***例.2.

求出公元前129年

解.2.

∵天干地支每60年一次循環

∴公元前129年=-129年=-129+60+60+60=51年

(51-3) / 60è餘數è48

1. 48/10 è餘數è8è辛

2. 48/12 è餘數è0/12 è亥

∴公元前129年的天干地支是辛亥

圓周率 (總結)

從之前得出的幾條公式，我們可以知道一個正多邊形(內接、外接)的周長。

相信大家都知道，圓的周長公式是2*π*r，而我們透過阿基米德的方法，就可以精確地求出圓周率π的近似值了。

我們曾經學過： (r = 圓半俓 n = 邊數 A = 360度/n)

圓內接正多邊形的周長： 2nr sin (A/2) 幾何

∵cos (A/2) = h / a

∴h = a cos (A/2)

∵a^2 + b^2 = c^2 (畢氏定理)

∴b/2 = √(a^2 - h^2)

=√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

∵正多邊形的周長 = b*邊數=b*n

∴正多邊形的周長=n * 2 * √{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

正多邊形的周長=2n√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

=2na [sin(A/2)]

圓外接正多邊形的周長： 2nr tan (A/2)

∵ tan θ = 對邊 / 鄰邊

∴ 根據圖1，tan (A/2) = (b/2) / a

a tan (A/2) = (b/2)

2a tan (A/2) = b = 正多邊形的邊長

∵ 正多邊形的周長 = 邊數 * 邊長

∴ 周長 = 2a tan (A/2) * n

= 2na tan (A/2)

其中，由於圓的周長公式是2*π*r，所以π = 周長/圓半俓/2

我們先逐步迫近π的最小值，即是：

2nr sin (A/2) / r / 2 = n sin(A/2) = n sin [(360/n)/2] = n sin(180/n)

接着，我們便可以得知π的最大值，即是：

2nr tan (A/2) / r / 2 = n tan(A/2) = n tan (180/n)

邊數	角度=180/n	最小	9 sig .fig	最大
n	180/n	nsin(180/n)		ntan(180/n)
6	30	3	＜π＜	3.46410162
12	15	3.10582854	＜π＜	3.21539031
24	7.5	3.13262861	＜π＜	3.15965994
48	3.75	3.13935020	＜π＜	3.14608622
96	1.875	3.14103195	＜π＜	3.14271460
192	0.9375	3.14145247	＜π＜	3.14187305
384	0.46875	3.14155761	＜π＜	3.14166275
768	0.234375	3.14158389	＜π＜	3.14161018
1536	0.1171875	3.14159046	＜π＜	3.14159703
3072	0.05859375	3.14159211	＜π＜	3.14159375
6144	0.029296875	3.14159252	＜π＜	3.14159293
12288	0.0146484375	3.14159262	＜π＜	3.14159272
24576	0.00732421875	3.14159265	＜π＜	3.14159267

透過以上的推算，我們利用阿基米德的方法，可以計算出圓周率π的最大最小值及其範圍，從而不斷增大圓周率的準確值，並求得π的值在3.14159265和3.14159267 之間。

圓外接正多邊形的周界

在這之前，我們研究過圓內接正多邊形的周界，現在，就等我們探討一下圓外接正多邊形的周界吧！

由圖1得知，a是該正多邊形的內接圓的半俓，而A則是正多邊形的圓心角，b是正多邊形的邊長，則n是邊數。

目標：透過角A度數和a的長度，求出正多邊形的邊長，從而得到圓外接正多邊形的周界。

方法：

∵ tan θ = 對邊 / 鄰邊

∴ 根據圖1，tan (A/2) = (b/2) / a

a tan (A/2) = (b/2)

2a tan (A/2) = b = 正多邊形的邊長

∵ 正多邊形的周長 = 邊數 * 邊長

∴ 周長 = 2a tan (A/2) * n

= 2na tan (A/2)

正多邊形的周長(3)

我們今次的題目主要是改良一下第一次所求周長的方法(已知該正多邊形的外接圓半俓)，主要利用餘弦定理，更方便地來求出該正多邊形的周長。

根據餘弦定理，我們可以得出 :

a^2=(b^2) + (c^2) – 2bccosA

a=[(b^2) + (c^2) – 2bccosA]^0.5

∵b=c

∴a=[2(b^2) – 2(b^2)cosA]^0.5

因此，我們透過餘弦定理，便可得知正多邊形的周長：

a = √[2(b^2) – 2(b^2)cosA]

正多邊形的周界(2)

之前我們曾經探討過在已知正多邊形的外接圓的半俓和內角的情況，現在，就等我們來想一下在己知內角和其外接圓的直俓的時候，如何求出該正多邊形的周長。

如圖：

我們現在只知道它的內角(角B)和其外接圓的直俓(2a)，

由於三角函數中的餘弦(cos)=鄰邊/斜邊，因此，角B的二分之一：角C，的餘弦值是b/2a，即：

∵ cos C = b / 2a

∴ b = 2acos C

亦由於nb=正多邊形的邊長，因此：

∵ nb=正多邊形的邊長

b = 2acos C

∴ 正多邊形的邊長=n2acos(B/2)

=2nacosC

總結以上公式，正多邊形的邊長等於 直俓 * 邊數 * 二分之一內角的餘弦值 ，即是：

2ancos(B/2)

正多邊形的周長(1)

曾經求過正多邊形的面積，那麼，如果只知道一個正多邊形的外接圓的半俓和內角，又可不可以知道它的周長？

我們首先可以看看以下的六邊形：

角B是該六邊形的內角

h是三角形ABC的高 (以b為底邊)

a是這個六邊形的外接圓的半俓

b是此六邊形的邊長

求 nb= ? (n=邊數)

已知條件 ： 角A、a邊

根據三角函數的方法，我們可以先得出h的長度。

∵cos (A/2) = h / a

∴h = a cos (A/2)

∵a^2 + b^2 = c^2 (畢氏定理)

∴b/2 = √(a^2 - h^2)

=√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

∵正多邊形的周長 = b*邊數=b*n

∴正多邊形的周長=n * 2 * √{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

正多邊形的周長=2n√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

=2na [sin(A/2)]

(附注：

n = 邊數 a = 正多邊形的外接圓的半俓

A = 360度/n )

正多邊形的面積

如果是我們已知道了一個正多邊形的邊長，究竟可不可以知道它的面積呢？

在三角形中，我們有海倫公式；在正方形中，我們可以將邊長自乘兩次。但是，如果增至正五邊形、正六邊形，卻有沒有一個公式，可以統一地求出正多邊形呢？

不如，我們首先劃出三角形、正方形、正五邊形、正六邊形這四個正多邊形，再在從中找出方法吧！

我們曾經學過求內角和的方法，由於它們都是正多邊形，所以每一個角都相同。因此，我們可以利用內角和的公式來計算每個角的角度，並利用三角函數來算出答案。

我們先用五邊形來分割。 ( a:邊長 n:邊數 h:高度)

∵角OAE =角 OCD

∵五邊形的內角是 108度

∴角OAE=108 / 2 = 54度

而正多邊形的面積等於每個三角形的面積總和， 即是n x 每個三角形

= n* (a * h / 2)

= nah / 2

∵tanA = h/(a/2)

∴h=tanA * (a/2)

∴正多邊形的面積就可以歸納成：n (a/2) [(a/2) tanA]

最後，我們可以得出正n邊形的面積公式：( a:邊長n:邊數 A:內角/2)

(n a^2 tan A) / 4

************************************************************************************

如果我們現在轉而知道一個正多邊形的外接圓半俓 (即 線段OC)，我們亦可以透過三角函數來求出此正多邊形的面積。

方法：
先利用sin & cos來求出邊長a和高h，再用三角形的計算方法，求出正多邊形的面積。

正七邊形的作法

口訣：

下七八、上四三，九七在中間；

腳下五，肩上九，一點一二左右手。

(參考自《趣味幾何考腦筋》)

五邊形的作法證明

(註：取CE=EF)

求證：用幾何方法畫出的CF，是否等於一個圓的內接五邊形的邊長：CF=HI

求CF

設直角三角形COE的高OC為2，OE是OC的二分之一，即是1，得EC=√(5). EC=EF. OF=[√(5)] – 1

CF=√[2²+(√5-1) ²]

=√[4+5-(2√5)+1]

=√[10-(2√5)]

求HI

角HOI=72^O，角HOJ=36^O

由於HO=2，角HOJ=36 ^O

所以HJ=(2/csc36 ^O)

HI=(4/csc36 ^O)

=4sin36 ^O

^{=√[10-(2√5)]}

以上五邊形作法是本人證明