正多邊形的周長(1)

曾經求過正多邊形的面積，那麼，如果只知道一個正多邊形的外接圓的半俓和內角，又可不可以知道它的周長？

我們首先可以看看以下的六邊形：

角B是該六邊形的內角

h是三角形ABC的高 (以b為底邊)

a是這個六邊形的外接圓的半俓

b是此六邊形的邊長

求 nb= ? (n=邊數)

已知條件 ： 角A、a邊

根據三角函數的方法，我們可以先得出h的長度。

∵cos (A/2) = h / a

∴h = a cos (A/2)

∵a^2 + b^2 = c^2 (畢氏定理)

∴b/2 = √(a^2 - h^2)

=√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

∵正多邊形的周長 = b*邊數=b*n

∴正多邊形的周長=n * 2 * √{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

正多邊形的周長=2n√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

=2na [sin(A/2)]

(附注：

n = 邊數 a = 正多邊形的外接圓的半俓

A = 360度/n )