正多邊形的面積

如果是我們已知道了一個正多邊形的邊長，究竟可不可以知道它的面積呢？

在三角形中，我們有海倫公式；在正方形中，我們可以將邊長自乘兩次。但是，如果增至正五邊形、正六邊形，卻有沒有一個公式，可以統一地求出正多邊形呢？

不如，我們首先劃出三角形、正方形、正五邊形、正六邊形這四個正多邊形，再在從中找出方法吧！

我們曾經學過求內角和的方法，由於它們都是正多邊形，所以每一個角都相同。因此，我們可以利用內角和的公式來計算每個角的角度，並利用三角函數來算出答案。

我們先用五邊形來分割。 ( a:邊長 n:邊數 h:高度)

∵角OAE =角 OCD

∵五邊形的內角是 108度

∴角OAE=108 / 2 = 54度

而正多邊形的面積等於每個三角形的面積總和， 即是n x 每個三角形

= n* (a * h / 2)

= nah / 2

∵tanA = h/(a/2)

∴h=tanA * (a/2)

∴正多邊形的面積就可以歸納成：n (a/2) [(a/2) tanA]

最後，我們可以得出正n邊形的面積公式：( a:邊長n:邊數 A:內角/2)

(n a^2 tan A) / 4

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如果我們現在轉而知道一個正多邊形的外接圓半俓 (即 線段OC)，我們亦可以透過三角函數來求出此正多邊形的面積。

方法：
先利用sin & cos來求出邊長a和高h，再用三角形的計算方法，求出正多邊形的面積。