正多邊形的周長(3)

我們今次的題目主要是改良一下第一次所求周長的方法(已知該正多邊形的外接圓半俓)，主要利用餘弦定理，更方便地來求出該正多邊形的周長。

根據餘弦定理，我們可以得出 :

a^2=(b^2) + (c^2) – 2bccosA

a=[(b^2) + (c^2) – 2bccosA]^0.5

∵b=c

∴a=[2(b^2) – 2(b^2)cosA]^0.5

因此，我們透過餘弦定理，便可得知正多邊形的周長：

a = √[2(b^2) – 2(b^2)cosA]

正多邊形的周界(2)

之前我們曾經探討過在已知正多邊形的外接圓的半俓和內角的情況，現在，就等我們來想一下在己知內角和其外接圓的直俓的時候，如何求出該正多邊形的周長。

如圖：

我們現在只知道它的內角(角B)和其外接圓的直俓(2a)，

由於三角函數中的餘弦(cos)=鄰邊/斜邊，因此，角B的二分之一：角C，的餘弦值是b/2a，即：

∵ cos C = b / 2a

∴ b = 2acos C

亦由於nb=正多邊形的邊長，因此：

∵ nb=正多邊形的邊長

b = 2acos C

∴ 正多邊形的邊長=n2acos(B/2)

=2nacosC

總結以上公式，正多邊形的邊長等於 直俓 * 邊數 * 二分之一內角的餘弦值 ，即是：

2ancos(B/2)

正多邊形的周長(1)

曾經求過正多邊形的面積，那麼，如果只知道一個正多邊形的外接圓的半俓和內角，又可不可以知道它的周長？

我們首先可以看看以下的六邊形：

角B是該六邊形的內角

h是三角形ABC的高 (以b為底邊)

a是這個六邊形的外接圓的半俓

b是此六邊形的邊長

求 nb= ? (n=邊數)

已知條件 ： 角A、a邊

根據三角函數的方法，我們可以先得出h的長度。

∵cos (A/2) = h / a

∴h = a cos (A/2)

∵a^2 + b^2 = c^2 (畢氏定理)

∴b/2 = √(a^2 - h^2)

=√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

∵正多邊形的周長 = b*邊數=b*n

∴正多邊形的周長=n * 2 * √{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

正多邊形的周長=2n√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}

=2na [sin(A/2)]

(附注：

n = 邊數 a = 正多邊形的外接圓的半俓

A = 360度/n )

正多邊形的面積

如果是我們已知道了一個正多邊形的邊長，究竟可不可以知道它的面積呢？

在三角形中，我們有海倫公式；在正方形中，我們可以將邊長自乘兩次。但是，如果增至正五邊形、正六邊形，卻有沒有一個公式，可以統一地求出正多邊形呢？

不如，我們首先劃出三角形、正方形、正五邊形、正六邊形這四個正多邊形，再在從中找出方法吧！

我們曾經學過求內角和的方法，由於它們都是正多邊形，所以每一個角都相同。因此，我們可以利用內角和的公式來計算每個角的角度，並利用三角函數來算出答案。

我們先用五邊形來分割。 ( a:邊長 n:邊數 h:高度)

∵角OAE =角 OCD

∵五邊形的內角是 108度

∴角OAE=108 / 2 = 54度

而正多邊形的面積等於每個三角形的面積總和， 即是n x 每個三角形

= n* (a * h / 2)

= nah / 2

∵tanA = h/(a/2)

∴h=tanA * (a/2)

∴正多邊形的面積就可以歸納成：n (a/2) [(a/2) tanA]

最後，我們可以得出正n邊形的面積公式：( a:邊長n:邊數 A:內角/2)

(n a^2 tan A) / 4

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如果我們現在轉而知道一個正多邊形的外接圓半俓 (即 線段OC)，我們亦可以透過三角函數來求出此正多邊形的面積。

方法：
先利用sin & cos來求出邊長a和高h，再用三角形的計算方法，求出正多邊形的面積。

正七邊形的作法

口訣：

下七八、上四三，九七在中間；

腳下五，肩上九，一點一二左右手。

(參考自《趣味幾何考腦筋》)

五邊形的作法證明

(註：取CE=EF)

求證：用幾何方法畫出的CF，是否等於一個圓的內接五邊形的邊長：CF=HI

求CF

設直角三角形COE的高OC為2，OE是OC的二分之一，即是1，得EC=√(5). EC=EF. OF=[√(5)] – 1

CF=√[2²+(√5-1) ²]

=√[4+5-(2√5)+1]

=√[10-(2√5)]

求HI

角HOI=72^O，角HOJ=36^O

由於HO=2，角HOJ=36 ^O

所以HJ=(2/csc36 ^O)

HI=(4/csc36 ^O)

=4sin36 ^O

^{=√[10-(2√5)]}

以上五邊形作法是本人證明