從之前得出的幾條公式，我們可以知道一個正多邊形(內接、外接)的周長。
相信大家都知道，圓的周長公式是2*π*r，而我們透過阿基米德的方法，就可以精確地求出圓周率π的近似值了。
我們曾經學過： (r = 圓半俓 n = 邊數 A = 360度/n)
圓內接正多邊形的周長： 2nr sin (A/2) 幾何
∵cos (A/2) = h / a
∴h = a cos (A/2)
∵a^2 + b^2 = c^2 (畢氏定理)
∴b/2 = √(a^2 - h^2)
=√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}
∵正多邊形的周長 = b*邊數=b*n
∴正多邊形的周長=n * 2 * √{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}
正多邊形的周長=2n√{a^2 – [a cos (A/2)] ^2}
=2na [sin(A/2)]
圓外接正多邊形的周長： 2nr tan (A/2)
∵ tan θ = 對邊 / 鄰邊
∴ 根據圖1，tan (A/2) = (b/2) / a
a tan (A/2) = (b/2)
2a tan (A/2) = b = 正多邊形的邊長
∵ 正多邊形的周長 = 邊數 * 邊長
∴ 周長 = 2a tan (A/2) * n
= 2na tan (A/2)
其中，由於圓的周長公式是2*π*r，所以π = 周長/圓半俓/2
我們先逐步迫近π的最小值，即是：
2nr sin (A/2) / r / 2 = n sin(A/2) = n sin [(360/n)/2] = n sin(180/n)
接着，我們便可以得知π的最大值，即是：
2nr tan (A/2) / r / 2 = n tan(A/2) = n tan (180/n)
邊數 | 角度=180/n | 最小 | 9 sig .fig | 最大 |
n | 180/n | nsin(180/n) | ntan(180/n) | |
6 | 30 | 3 | ＜π＜ | 3.46410162 |
12 | 15 | 3.10582854 | ＜π＜ | 3.21539031 |
24 | 7.5 | 3.13262861 | ＜π＜ | 3.15965994 |
48 | 3.75 | 3.13935020 | ＜π＜ | 3.14608622 |
96 | 1.875 | 3.14103195 | ＜π＜ | 3.14271460 |
192 | 0.9375 | 3.14145247 | ＜π＜ | 3.14187305 |
384 | 0.46875 | 3.14155761 | ＜π＜ | 3.14166275 |
768 | 0.234375 | 3.14158389 | ＜π＜ | 3.14161018 |
1536 | 0.1171875 | 3.14159046 | ＜π＜ | 3.14159703 |
3072 | 0.05859375 | 3.14159211 | ＜π＜ | 3.14159375 |
6144 | 0.029296875 | 3.14159252 | ＜π＜ | 3.14159293 |
12288 | 0.0146484375 | 3.14159262 | ＜π＜ | 3.14159272 |
24576 | 0.00732421875 | 3.14159265 | ＜π＜ | 3.14159267 |
透過以上的推算，我們利用阿基米德的方法，可以計算出圓周率π的最大最小值及其範圍，從而不斷增大圓周率的準確值，並求得π的值在3.14159265和3.14159267 之間。
